Grafica de funciones racionales - Aplicacion de limites

Bueno ya sabemos que es una funcion racional y que ellas siempre tienen acintotas. La idea cual es...sin medio de tabulacion, poder hacer un bosquejo..

Pasos:

1. Cortes en eje x
2. Cortes en eje y

3. Buscar acintotas verticales

4. Buscar acintotas horizontales

5. Realizar grafica

Se que abran cosas que no sepas, pero como estoy para ayudar explicare que significa cada cosa

Cortes en eje x: Un corte en el eje x, es donde corta y en el eje x. Para realizar tomamos y = 0 despejando x.

Un corte en el eje y, es donde corta x en el eje y . Para realizar tomamos x = 0.

Acintotas verticales:

Pasan por los x, donde el denominador se convierte en 0, y el limite es oo. Eso significa que debemos saber cuando el denominador es cero, y luego tomar el resultado y aplicar limites unilaterales para saber si va hacia el infinito o hacia el menos infinito.

Acintotas Horizontales:

Aplicamos limites hacia el infinito, dividiendo todo por la mayor potencia. El resultado sera la actintota horizontal.

Ejemplo:

y = x^ 2 / x^2 - 4

1. Cortes con el eje x

0 = x^2 / x^2 - 4

0= x^2

x = 0

2. Cortes en el eje y

y = (0) ^ 2 / (0)^ 2 - 4

y = 0

3. Buscar acintotas vertical : Nunca va a tocar

Se toma el denominador:

x^ 2 - 4 = 0

x^2 = 4

x = +- 2

Limite x^2 / x^2 - 4 = 4/0 Es infinito

Cuando tiende a menos 2

Limite x^2/ x^2 - 4 = + Infinito

cuando tiende a menos 2 por la izquierda

Limite x^2/x^2 - 4 = - Infinito

Cuando tiende a menos 2 por la derecha

Limite x^2/x^2 - 4 = Infinito

Cuando tiende a 2

Limite x^2/x^2 - 4 = - Infinito

Cuando tiende a 2 por la izquierda

Limite x^2/x^2 - 4 = + Infinito

Cuando tiende a 2 por la derecha

Que significa eso que se va hacia el infinito o hacia menos infinito dentro de la grafica

Acincota Horizontales...

Limite x^2/x^2 - 4 =

Cuando tiene a infinito

x^2

----

x^2

----------

x^2 - 4

--------

x^2

y = 1

Finalmente la grafica quedaria asi

Limites al infinito

Cuando hay funciones linales la "x" que tenga mayor potencia...el signo de esta, es hacia donde va el infinito, hacia el mas infinito, o hacia el menos infinito



Ejemplo:



Lim x^2 - x ^ 3 = - 00, Porque la mayor potencia tiene un signo menos

x tiende 00



Ahora si no son lineales, sino racionales entonces buscamos la mayor potencia, aca hay dos casos



Caso 1:



Cuando tenemos 4 / x a la mayor potencia eso tiende al infinito por tanto es 0.



Caso 2:



Pero si tenemos 4 x a la mayor potencia / x a la mayor potencia, se cancelan las x y queda 4



Ejemplo:



Lim (La funcion la coloco abajo)

x tiende al infinito



x^5 + x^2

------------

x



La mayor potencia es 5 por tanto dividimos todo por x^5

x^5 + x^2
---- + ----
x^5 + x^5
-----------------
x
--
x^5

Al cancelar todo
quedaria 1 / 0 = 00

Funcion por partes

Casito se me olvida explicar funcion por partes.,,,

Bueno pues funcion por partes son multiples funciones en una funcion..ah??

Ejemplo:

F(x)= { 5x + 2

{ x + 1

{ 2x + 5

Se las pueden dar asi, o con intervalos
SU GRAFICA SERIA ASI:

OJO! NO COLOQUE INTERVALOS EN LAS FUNCIONES PORQUE SABEMOS QUE UNA FUNCION LINEAL SU DOMINIO Y RANGO SON TODOS LOS REALES

CUANDO LES DEN RACIONALES, CUANDO LES DEN DE OTRO TIPO, TIENE QUE INTERPRETAR LA GRAFICA.

Limites Unilaterales

Se trabajan limites unilaterales , cuando

1. √0 Raiz de Cero
2. l o l Valor Absoluto de Cero
3. Funciones por partes
4. Funcion parte entera
5. constante / cero

Un limite unilateral se hace para saber cuando el limite exite. Entonces se habla del limite por la derecha y de un limite por la izquierda.

Entonces por ejemplo:

Lim √x - 2 = √0
x tiende a 2

Entonces decimos que el limite a la izquierda es el numero menor mas cercano de 2 por la izquierda. En este caso 1.9

Lim √1.9 - 2 = No existe el limite por q raices negativas no existen
x tiende a 2 por la izquierda

Si por la izquierda es el menor numero mas cercano, por la derecha es el numero mayor mas cercano

Lim √2.1 - 2 = Existe el limite
x tiende a 2 por la derecha

LIMITES CON VALOR ABSOLUTO

cuando vamos a trabajar limites con valor absoluto, debemos hacer la regla de valor absoluto igual a interrogaciones..se acuerda..en desigualdades

entonces por ejemplo

Lim l x - 1 l / x^2 - 1
x tiende a 1

Entonces

l x - 1 l = { x - 1, x ≥ 1
{ -x + 1, x < 1

Entonces ustedes dicen que hay un punto en comun. el numero 1

Lim x - 1/x^2 - 1 =
x tiende a 1 por la derecha (Recuerden mayores que 1) Miran en lo de arriba dice mayor o que

x^2 - 1 = (x + 1) ( x - 1) Por diferencia de cuadrados

x - 1 = 1
----------- = ----------
(x + 1) (x - 1) x + 1

Por lo tanto por la derecha existe el limite y es 1/2.

Ahora vemos por la izquierda

Lim - x + 1 / (x +1 ) (x - 1)
x tiende a 1 por la izquierda (Menores que 1)

- x +1 = - ( x -1 )
-----------=---------------
(x+1)(x-1) = ( x + 1) (x - 1)

Ojo! Uds no podian cancelar el otro porque hay un - x..

- 1
--------
x + 1

Entonces

Lim -1/x +1 = -1/2
x tiende a 1 por la izquierda

LIMITES DE FUNCION POR PARTES

En funcion por partes debemos hallar unos numeros que son conocidos como puntos especiales y hallar el limite de cada uno..El cero siempre es un punto especial.

Ejemplo


F ( x) { 4 + x, x < 1
{ 8 - x , 1 ≤ x ≤ 2

Los puntos especiale serian 1 , 2 , 0

Lim 8 - x = 7
x tiende a 1 por la derecha ( Mayores que 1)

Lim 4 + x = 5
x tiende a 1 por la izquierda (Menores que 1)

Lim F(x) = No existe el limite
x tiende a 2 Por la derecha

Lim 8 - x = 6
X tiende a 2 por la izquierda

Lim F (x) = No existe
x tiende a 0

Como saber cual ecuacion coger...es muy facil
Cuando tengan los puntos especiales lean las ecuaciones que le dan, cuando x mayor que tal, y miren las de funcion por partes, cuando no este el numero en ningun intervalo dicen que no existe.

LIMITE DE PARTE ENTERA

No existe ningun limite de parte entera.....

LIMITE DE UNA CONSTANTE SOBRE CERO

Ojo no se vallan a confundir cuando digan una constante sobre cero, y luego un limite hacia el infinito, porque en la constante sobre cero queremos saber si va hacia mas infinito o menos infinito. Pero de una forma diferente a los limites hacia el infinito.

Ejemplo:

Lim x + 2 / x - 3 =
x tiende a 3 por la izquierda

Voy a separar la funcion para que la vean por aca

x + 2
------- = La idea es saber donde da un numero positivo y donde un numero negativo
x - 3

Como hablamos de 3 a la izquierda, decimos menores que 3, osea 2.9

2.9 + 2 = +
------- = ...= Negativo por multiplicacion de signos
2.9 - 3 = -

Entonces cuando tengan ya la division de signos los multiplican y eso da el resultado final

Cuando hablan de negativo es hacia menos infinito y positivo hacia el infinito

* Lim x + 2/ x - 3
x tiene a 3 hacia la derecha

Hacia la derecha por tanto numero mayor positivo 3.1

x + 2 = Positivo
---------= ------ = Hacia el infinito
x - 3 = Positivo

Multiplicacion por la conjugada Limites

Hola...Cuando tenemos raices dentro de los limites, tenemos que hallar la conjugada...pero que diablos es eso... es coger la raiz cambiarle el signo y multiplicarla por el limite original. Ejemplo:

Lim (√x + 1) -1 / x = Primero vemos que da 0 / 0. Ojo la conjugada la hacemos cuando pase esto.
x tiende a 0

Voy a separar el f (x) del limite como lo hice en ejercicios de limites para que vean paso por paso

(√x + 1 ) - 1
------------- = Vemos la funcion original
x

(√x + 1) + 1
-------------- = Esta es la conjugada aplicada siempre para ambos (Numerador, Denominador)
(√x + 1 ) + 1

( √x + 1) - 1 * (√x + 1) + 1
----------------- -------------------
x (√x + 1) + 1

Si se dan cuenta en el numerador queda una diferencia de cuadrados por tanto

(√x +1 )^2 - 1^ 2
------------------
x (√x + 1) + 1

siempre vamos a escoger la funcion original y elevarla al cuadrado ambos, ahora miren que raiz al cuadrado se cancela la raiz

x +1 - 1
--------
x (√x + 1) + 1

Por tanto quedaria

x
------------
x (√x + 1) + 1

Ummm un x arriba y un x abajo multplicando, podemos cancelarlo

1
-----------
(√x + 1) + 1
Por lo tanto quedaria

Lim (1/(√x + 1) + 1 ) = 1/2
x tiende a 0

NOTA:: CUANDO TENGAN TANTO EN EL DENOMINADOR COMO EN EL NUMERADOR RAICES, DEBEN HACERLA PARA AMBOS CASOS...UNA AL PRINCIPIO Y LUEGO LA OTRA.

Ejercicios Limites

Hola, trabajar con limites es muy facil...bueno ante todo vuelvan a repasar algebra..Porque aca se van a encontrar con problemas donde si les da 0/0, o una constante sobre 0. Deben arreglarlos matematicamente.

Lim x +3 = 5 Cuando decimos que x tiende , en el F (x) o funcion enfrente del limite
x tiende a 2 reemplazamos

Lim 7x = 21 ..................... Lim 7 + x/x^2 + 1 = 9/5
x tiene a 3 .......................... x tiende a 2

Lim √3x+1 = √4 =2
x tiene a 1

Ahora hablemos de los casos especiales dentro de los limites , pero antes vamos a recordar algunas cositas de algebra

Diferencia de cuadrados: x^2 - 4 : Esta es un diferencia de cuadrados pero porque?, porque se puede descomponer y se llama a esa misma solucion. En diferencia de cuadrados lo primero que tiene que hacer es separar las x

(x + 2 )(x - 2 ), ahora como tienen que llegar a un menos 4, deben colocar + - , 0 - + porque su multiplicacion de signos da - . Finalmente escogen dos numeros que multiplicados den 4. y listo han descompuesto una diferencia de cuadrados.

Ahora tambien cabe recordar las siguientes:

(a + b) ^ 2= a^2 + 2ab + b^2
(a - b) ^ 2 = a^2 - 2ab + b^2
(a + b) ^3 = ( a + b) (a^2 - ab + b^2)

Entonces por ejemplo:

Lim x - 2 / x^2 - 4 = Si hacemos los calculos esos nos da 0/0
x tiende a 2

Por tanto toca hacer arreglos...En el denominador nos dan x^2 - 4 es una diferencia de cuadrados, simplifiquemos

Lim x -2 /( x - 2) ( x + 2) = Ahora vemos que arriba hay un x - 2 y abajo tambien.
x tiende a 2

Nota: Cuando hay una multiplicacion puede ser en el denominador o numerador y en el opuesto hay el mismo sin suma ni nada. se pueden cancelar..OJO SOLO SE PUEDE SI SE MULTIPLICA.

Explicacion

a/a.b= tenemos una fraccion de a / a*b en este caso podemos cancelar las "a" y quedaria 1/b

Entonce

Lim 1 / x + 2 = 1/4
x tiende a 2

Ahora vamos hacer una donde en una fraccion hay mas fracciones

Lim (1/x - 1/2) / x -2 = entoncs en el numerador hay una resta de fracciones, primero realizar
x tiende a 2

Lim (2-x/2x)/ x - 2 = En el denominador aun nos sigue dando 0, Entonces vamos a dividir
x tiende a 2

Division de fracciones?

Recordemos que se hace por la ley de la oreja (Aunque no es la unica forma), esta es la siguiente:

a
-
b
------ = a*d
c -----
- = b*c
d

OJO: RECORDEMOS QUE CUANDO UN NUMERO NO TIENE NUMERADOR. ESTE ES 1.

Entonces en el ejercicio

2 - x
-----
2x
--------- = 2 - x
x - 2 ------
------ = 2x(x-2)
1

Pero si uds hacen las operaciones, aun sigue dando cero....pero vean que en el denominador hay un x - 2 que seria el numerador pero con un menos factorizado. Recuerden lo de factorizar signos que lo explique anteriormente

- ( x - 2 )
-----------
2x ( x - 2 )

Ahi ya podemos simplicar el x -2

para que quede

- 1
---------- = -1 / 4
2x

Entonces el limite quedaria, luego de todas esas simplificaciones

Lim (-1/2x) = -1/4
x tiende a 2

NOTA: SE QUE HAY MUCHOS PROBLEMAS EN LIMITES...POR ESO PUEDEN ESCRIBIR EN ESTE BLOG, COMENTARIOS SOBRE PROBLEMAS QUE NO PUEDAN REALIZAR, Y YO ESCRIBIRE ESOS PROBLEMAS RESUELTOS.....LO MAS ANTES POSIBLE......LA IDEA ES QUE UDS APRENDAN..ESO ES LO QUIERO

Propiedades de los limites

Cuando una "x" tiene a un numero y esa misma tiene un punto en "y" que tienden a otro numero se denota

Lim F(x) = L Limite cuando "x" tiene a un numero donde esta en "y"
x -- a

Propiedades de los limites

1. Limites Constante = Constante

x -- a

Limite (2) = 2

x --- 1

"Limite de una constante es siempre una constante"

2. Lim (x) = a

x -- a

Lim (x) = 2

x -- 2

"Porque y=2 , x =2"

3. El limite de suma y resta de funciones. Se reparte los limites

Lim (f+-g) = Lim f (x) +- Lim g(x)

4. Lim ( f. g)(x) = Lim f(x) * Lim g (x)

5. Lim x^n = Lim x * Lim x

6. Lim √ f(x) = √ Lim F(x)

7. Lim F (x) / G (x) =

Lim F(x)

----------

Lim G(x)

Recordemos:

0/c = 0, donde c es una constante

c/0 = Infinito

0/0 = Indeterminado No se puede concluir nada existe pero hay que hallarlo.

NOTA: RECORDEMOS QUE SIEMPRE ES

LIM F (X ) = ?

X TIENDE A

SIEMPRE VA EL TIENDE A ..SOLO QUE EL EDITOR NO ME DEJABA MODIFICARLO..NO OLVIDARLO!!!!

Ecuaciones exponensiales y logaritmicas

Ecuacion Exponensial:

La variable "x" esta en el exponente, se debe llegar a que las bases son iguales para despejar exponentes...¿ahh? bases iguales?? que diablos es eso

Ejemplo:

2^x+2 = 16 ^ 3+2x Las bases son 2 y 16, 16 es 4 veces 2 por tanto

2^x+2 = ((2)^4)^3+2x el 4 multiplica al 3+2x

2^x+2 = 2^12+8x Con las bases iguales podemos despejar x

x + 2 = 12 + 8x

Ahora cuando no se pueda llegar a la base se aplica logaritmo

3^x+5 = 5 ^ 7 - x

Log 3^x+5 = Log 5 ^ 7 - x

(x+5) Log 3 = (7 - x) Log 5 Aplicando propiedad de logaritmos

(x + 5) 1.09 = (7 - x ) 1.6

1.09 x + 5.45 = 11.2 - 1.6x

Ecuacion Logaritmica:

Hay que tratar de eliminar el Log. Tenemos que llegar a factorizar el log.

Ejemplo:

Log x + 3 Log 2 = Log 2/x

Log x + Log 2^3 = Log 2/x

Log (x*2^3) = Log 2/x

8x = 2/x

Ahora si no podemos llegar a log = log aplicamos base a la y.

Ejemplo:

Log x + Log (x - 15) = 2

Log (x (x-15) ) = 2

10^2 = x^2 - 15x Recordamos que Log x = 10^x.

100= x^2 - 15x

x^2 - 15x - 100 = 0

(x-20) (x+5) = 0

x =20 x= -5

Solo se escogen valores positivos

x =20

Funciones exponensiales y logaritmicas

Una funcion exponensial es de la forma

F (x) = 3^x

Es lo mismo segun los valores x se da la imagen en y.
Ahora si hay un funcion que tenga elevado a la -x, pasa lo siguiente

F (x) = 3^(- x)

F(x) =1/3 ^ x

Se invierten los denominadores con los numeradores.

Una funcion logaritmica

De la forma y = Log x, entre la x y el log, hay un a, que es la base

Donde a y x son positivos. "a" se llama base y x argumento.

Si queremos pasar de logaritmo a exponensial decimos que y = Log x es decir a^y = x.

- Para hacer cambio natural de base:

Log x = Log nueva base x / Log de nueva base de la base antigua

- Propiedades de logaritmos

log (xy) = Log x + Log y

Log (x/y) = Log x - log y

Log x ^ a = a log x donde a es un exponente cualquiera

log 1 = 0

Ejemplos:

Log x^3/5x = log x^3 - Log 5x

Log (x^2 - 8x)^2 = 2 Log x^2 - 2 Log 8x

Nota: Apliquen las propiedades....

Operaciones entre funciones

Las operaciones entre funciones, son mas que todo algebra

Ejemplo:

F(x) = 3x
g (x) = 5x

(F+g)(x) = F (x) + G(x)
= 3x + 5x = 8x

(F-g)(x) = F(x) - G(x)
= 3x - 5x
= -2x

(F*g)(x) = F(x)*G(x)
= 3x*5x
=15x^2

(F/G)(x) = F(x) / G(x)
= 3/5x

No vi necesidad en explicar lo anterior porque sencillamente deben sumar, restar, multiplicar, dividir funciones algebraicas.

Pero hay una funcion mas llamada Compuesta.

Una funcion normal es F (x).....Una funcion compuesta es F (g(x)) y es facil comprender donde esta la x, la cambiamos por la funcion g

Ejemplo

F(x) = 3x^2 + 5x
G (x) = 10x

F(g(x))= 3(10x)^2 + 5(10x)
= 30x^2 + 50x

Nota::::: La unica operacion conmutativa seria la suma y la multiplicacion...porque en la resta, en la division y en la compuesta no es lo mismo

Explicacion

4 - 3 ≠ -3-4
4/3 ≠ 3/4

En la compuesta no es lo mismo decir F (g(x)) que G ( f (x))

Graficas, dominio, rango y periodo de funciones trigonometricas

Coseno, seno, secante, y cosecante tiene periodo 2π

Y = Seno(x)

y = coseno (x)

y = Tangente (x)

y = Cotangente (x)

- Dominio y rango:

Seno y coseno : Su dominio son todos los reales y su rango es de -1 a 1.

Tangente: Su dominio son todos los reales multiplos de π/2 y su rango son todos los reales

Cotangente, Secante, Cosencante: Su dominio y rango son todos los reales multiplos de π/2

Conceptos trigonometricos

Si pensaban que trigonometria de 10...ya no mas trigo, no quiero saber de eso...Lamento informarles que la trigonometria , viene ligada con todos los calculos....

Valores de funciones trigonometricas:

Sen = Cateto opuesto / Hipotenusa
Tan = Seno / Coseno
Coseno = Cateto Adyacente / Hipotenusa
Cotan = Coseno / seno
Cosecante = 1/seno
Secante = 1 / Coseno

Identidades Trigonometricas:

- Pitagoricas:

Sen^2x + Cos^2x = 1
1 + cotan^2x= cosec^2x
tan^2x + 1 = sec^2x

- Suma o resta de angulos:

sen (a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
cos (a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
tan (a+b) = (tan(a) + tan(b)) / 1 - tan(a)tan(b)

- Angulos dobles

Sen^2x= 2sencos
Cos^2x= 1 - cos^2x
tan^2x= 2tanx/1-tan^2x

NOTA: ES BUENO QUE VAYAN APRENDIENDOSE ESTO, CUANDO VEAMOS LIMITES SE DARAN CUENTA POR QUE.

Transformaciones de funciones

Existen varias transformaciones de funciones , pero las mas necesarias son desplazamientos y reflexiones.

- Desplazamiento vertical: Sumar una constante desplaza su grafica en direccion vertical hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si la constante negativa

Ejemplo:

f (x) : x Funcion original

f (x) : x + 1 Donde la constante es 1, osea que verticalmente subiria 1.

f (x) : x -1 Donde la constante es -1, por lo tanto baja verticalmente una unidad

- Desplazamiento horizontal: Estan dentro de la funcion por ejemplo f (x) = x^2, para los desplazamientos serian f (x) = (x-c)^ 2 y f (x) = (x+c)^ 2 donde c es la constante

tomemos ese ejemplo f (x) : x^´2 le vamos a sumar 2 y a restar 2.

Cuando le restamos aunmenta a la derecha, cuando le sumamos se resta unidades

En la grafica vemos las 3 funciones unidas.

- Reflexiones:

Se tiene f (x) = x , la reflexion es f (x) = -x para el eje x y f (-x) = x, para el eje y.

Ejemplo F (x) = x^2

Su reflexion en el eje x seria F (x) = -x^2

Funciones pares e impares

Una funcion Par cumple su nombre cuando al cambiarle el signo no altera su resultado ejemplo:

f (x) : (x)^2 Esta es una funcion cualquiera, es par si al poner - x no altera su forma original
f (-x) : (-x)^ 2
f (-x) : x ^ 2

Podriamos concluir que todo x elevado a la par es una funcion par. Pero no en todos los casos porque tambien pueden haber impares y pares.

Un funcion impar cumple su nombre si al factorizar un menos llega a su forma original. Ejemplo:

f (x): 5x^3

f (-x) : 5(-x)^´3

f(-x) : -5 x^3 Si pueden ver quedo de diferente signo el 5, antes era positivo ahora negativo pero

f ( -x ): - (5x^3) Factorizamos el menos y queda su forma original.

Ahora tambien hay funciones que no son pares ni impares.

F(x) : x^4 - 3x^3 + x

f ( -x ): (-x)^4 - 3 (-x)^3 + (-x)

f (-x) : x^4 + 3x^3 - x Pueden ver que solo una queda con signo igual, si factorizamos

f (-x) : - (-x^4 - 3x^3 + x) Si factorizamos queda una con signo contrario. Por lo tanto no es ni par ni impar

Nota: Solo deben cambiar x por -x. y si se puede factorizar

Si no saben factorizar el x les explicare

Si por ejemplo tenemos x^2 + 2 factorizar un menos debe hacer que no se altere esa ecuacion por ejemplo

f (x) = x^2 + 2 Funcion original
f (x) = - (-x^2 - 2) Factorizamos el x, significa que vamos aplicar distributiva y eso no altera la forma original
f (x) = x^2 + 2

Aplicando las multiplicaciones de signos

- *- = +
- * + = -
+ * + = +
+ * - = -

Grafica de una funcion

Existen varias clases de funciones

- Función Lineal: Son de la forma y = mx + b donde es la pendiente y b es la interseccion con "y". Es facil de reconocer porque su grafica siempre es una recta lineal.

Ejemplo F(x) = 3x + 2

- Funcion Cuadratica: Viene de una ecuacion cuadratica ax^2 + bx + c

Para hallar el vertice en esta se realiza :

Vertice ( -b / 2a)

Ejemplo F(x) = x ^ 2

Antes de graficar hablamos de parabolas positivas arriba cuando toma valores positivos en y, y abajo parabolas negativas cuando toma valores negativos

El ejemplo para hallar el vertice: la razon de hallar el vertice es graficar sin tabular. Entonces hay Vx y Vy.

F(x) = 2x^2 + 3x - 1

Vx = (-3/2.2) = -0.75

Para hallar Vy reemplazmos en la ecuacion

Vy = 2 (-075)^2+ 3 (-0.75) -1 = -2.13

Nota: El rango molesta mucho en cuadraticas, si uds pueden ver un punto corta en y. Entonces ese punto seria desde donde comienza el rango y si va hacia arriba seria hacia el infinito y hacia abajo seria hacia menos infinito.

- Funcion Cubica : Elevada al cubo.

F(x) = x ^ 3

- Funcion raiz: √x

-Funcion racional : 1/x

-Funcion valor absoluto : l x l

ANOTACIONES:

En el caso de valor absoluto de x, si pueden ver el dominio (las x ) son infinitas por eso el dominio son todos los reales, pero en el rango el y comienza desde 0, por tanto el rango es de 0, hasta 00.

En la funcion raiz de x, toma el dominio como desde 0 hasta 00, y el rango es igual.

En la funcion racional 1/x, hablamos de acintontas, si ustedes pueden ver la grafica, se alejan ambas, osea forman dos rectas, esos puntos que no toman se llaman acintotas y las hay tanto verticales como horizontales.

El dominio y el ranto de 1/ x serian todos los reales exepto el 0. ya que este seria la acintota.

Funciones: Dominio y rango

Primero que todo que es una funcion?

Una funcion es una relacion la cual cada elemento de A le asigna un unico elemento de B. Osea una imagen...Umm si lo se que vaina tan enrollada...pero mas adelante entenderan...mas facil.

Hay distintas formas de representar funciones, pero siendo sincero en calculo solo utilizan una usando graficas, tabulando y haciendo imagenes...Explicare cada una de ellas

Antes les explico, en funciones hay dos variables

y = x, se puede decir y o f(x).

f (x) = x + 1, es una funcion el hecho es darle un valor a x , para dar el valor de y o f(x).

Ejemplo

f (2) = 2 + 1 = 3. ..Esto nos dice que cuando x valga 2, y o f(x) valdra 3.

Eso se llama Imagenes.

Grafica:



Si uds pueden ver hay dos rectas, una vertical y una horizontal.
Pues la vertical se llama el eje "y", y la horizontal se llama el eje "x".

cuando damos un valor, en x ponemos un punto en y. asi vamos construyendo la recta.

Tabulacion:

Para tabular se pone :

y 1 2 3
x 0 1 2

Son los valores que se le asignan a x, y se colocan en y (resultados).

DOMINIO Y RANGO:

El dominio es el conjunto de x para los cuales la funcion esta definida. Osea desde donde hasta donde van los x. Recuerden no son los que tabulen, uds deben hablar en general. Para eso les doy unos "tips"

1. F(x) = 3x ^ 4 + 5x ^2 + 7x
Esta es una funcion polinomial, para este caso....el dominio son todos los reales

2. F(x) = 4x^2 + 7 / x ^ 2
Esta es una funcion racional para ese caso se despeja el denominador y se factoriza. Se coloca que el denominador no puede ser 0.

En ese caso despejamos el x ^ 2.

x^2 ≠ 0
x ≠ 0 ...recordando que para despejar el x al cuadrado ponemos raiz al otro lado y raiz de 0 = 0.

Por tanto son todos los reales exepto el 0.

3. F(x) = √ 3x - 4
Es otra funcional racional con raiz. En este caso lo que este dentro de la raiz lo colocamos como mayor o igual que 0, despejamos x. el intervalo que de es el dominio.

3x - 4 ≥ 0
3x≥ 4
x ≥ 4/3 El intervalo serio [4/3 , 00) Ese seria el dominio

Nota: Cuando hay una raiz dentro de una fraccion, osea

F (x) = √3x+7 / x ^2 - 4

Se debe hacer ambos procedimientos

3x + 7 ≥ 0 y x^2 - 4 ≠ 0
x ≥ -7/3 y x ≠ 2 y x ≠ -2

El dominio seria :

X pertenece a [-7/3, 00) Excepto {-2,2}

RANGO

El rango de una funcion son todas las y. Pero bueno es facil determinarlo, solo cuando hay condiciones donde y empieze en un punto.

Desigualdad cuadratica

DESIGUALDADES CUADRATICAS

Recordemos que significa cuadratica,
de la forma ax^2 + bx + c = 0

1. x^2+5x-3≤ 0

Luego de aplicar la formula que vimos en ecuaciones cuadraticas el resultado dio
x1=0.54 y x2= -5.54

Ubicamos esas dos en la recta:

quedaria asi distribuida

-00 -5.54 0.54 00

La forma para hallar los intervalos en una ecuacion cuadratica es sencilla ubicamos siempre el positivo de derecha a izquiera, +-+-+-

-00 -5.54 0.54 00
+ - +

ahora miramos de nuevo la ecuacion

x^2+5x-3≤ 0 dice que menor que..por tanto se toman los signos negativos, vemos que estan entre -5.54 y 0.54 por tanto tomamos ese intervalo

X pertenece a (como es menor que) [ -5.54 , 0.54 ]

2. ejercicios con intervalos

Solo quiero que entiendan lo de la recta de mas y menos, porq al principio es algo difuso.

Imaginemos que no hubiese sido en el anterior ejercicio menor que, sino mayor que entonces tomariamos los mas, o positivos quedaria la respuesta as

i X pertenece (-00 , -5.54 ] union [0.54 , 00)

Desigualdad con valor absoluto

Hola....en esta seccion comenzamos desigualdades con valor absoluto

Primero que todo que es valor absoluto? Se denota con los siguientes simbolos l l. Es facil...cualquier numero que este ahi sea positivo o negativo, su resultado es positivo.

l -3 l = 3 l 2 l = 2 Comprendido esto vamos a utilizarlos.... Para comenzar desigualdades con valor absoluto debemos sabernos las reglas

1. l x l = {x , x ≥ 0 esta es la primera ley cuando nos hablan del valor absoluto de una ecuacion
{-x, x <>

Ejemplo: l 3x + 5l = { 3x + 5 ≥ 0 , 3x ≥ -5 , x ≥ -5/3
{ -3x - 5 <>

2. l x l = a Esta es diferente a la de arriba, su razon nos dan un resultado, aca se dan intervalos unicos

x = a y x = - a

Ejemplo: l 3x + 5 l = 8
3x +5 = 8 y 3x + 5 = -8
3x = 8 - 5 y 3x = -8 -5
3x = 3 y 3x = -13
x = 3/3 y x = -13/3
x = 1 y x = -4.33

Bueno pues las respuestas son 1 y -4.33. Estas son unicas por tanto X pertenece a { 1 , -4.33 }

3. l x l ≤ a .................... l x l < color="#ff0000">4. l x l ≥ a
x ≥ a y x ≤ - a
l 3x + 5 l ≥ 8
3x + 5 ≥ 8 y 3x + 5 ≤ -8
3x ≥ 3 y 3x ≤ -13
x ≥ 1 y x ≤ -13 / 3

El resultado es una "y" x mayores que 1 y x menores que -13/3...
Entonces
X pertenece a (-00, -13/3] union [1 , 00)

Desigualdades Lineales

Para comenzar a ver desigualdades vamos a trabajar con estos significados:

( ): Intervalos abiertos (No puedes tomar ese valor sino los que estan dentro de ellos)
[ ]: Intervalos Cerrados (Puedes tomar esos valores y los que estan dentro de ellos)
( ]: Intervalo Semiabierto
[ ): Intervalo Semicerrado
≥: Mayor que
≤: Menor que
<: Menor >: Mayor

Bueno pues la explicacion sera breve:

Para dar respuesta a los intervalos tomamos los signos de comparacion (Mayor que, menor que, mayor, menor) cuando usamos mayor que y menor que aplicamos los intervalos cerrados, y cuando usamos mayor y menor los intevarlos abiertos. Los intervalos cerrados nos dejan tomar los valores que esten en los extremos, y los intervalos abiertos no nos dejan tomar esos valores.

Ejemplo de intervalos:

(1 , 4 ) = Solo podrias tomar 2 y 3.
[1, 4 ] = Tomarias los valores 1, 2 ,3 y 4.
(1 , 4] = Tomarias los valores 2 , 3 y 4.
[1, 4 ) = Tomarias los valores 1, 2 , 3

Ahora te preguntaras y que?? de donde diablos sale eso, pues este es nuestro tema DESIGUALDADES

- Desigualdad lineal : La variable tiene potencia 1, son de la forma ax + b ≥ 0

Ejemplos:

1. 2 (3x - 4) <>
6x - 8 <>
6x <>
x <>
x <>

Nota: cuando se trabaja con una unica respuesta se toma si son menores que x -00, menos infinito, y mayores que 00 infinito)

2. -1≤ 2x +3 y 2x+4 >1 (Una inecuacion doble, donde y se representa por un v pero voltiada)
-4≤ 2x y 2x > -3
-2 ≤ x y x > -3/2

Cuando se trabaja con "y" hablamos de una interseccion, que es un interseccion?, es que tome los mismos valores en ambos casos

-3/2= -1.5 , eaca el problema es que no toma valores
entonces unimos los dos resultados tambien por una "y"

X pertenece a (-00, -2] y (-3/2 , 00)

Ecuaciones

Ecuaciones:

Las ecuaciones buscan satisfacer una "regla". Por ejemplo:

3x + 7 =10 (Esta es la ecuacion principal, debemos despejar x para hallar su solucion)
3x = 10 - 7 (Trtamos de pasar numeros a un lado y dejar a la x solita, cuando pasamos un numero cambia de signo)
3x = 3 (Como el 3 esta multiplicando a la x, la pasamos a dividir)
x = 3/3
x = 1 (Entonces para que la ecuacion sea igual a 10, x debe ser igual a 1)

Comprobemos : 3(1)+7 = 10

Ahora hay casos donde nos digan esto:

X ^ 2 - 4 = 0 (Cuando nos eleven x a cualquier potencia mayor q 1)
X ^ 2 = 4 (Pasamos el numero al otro lado de la ecuacion)
X = +- √4 (Para quitar el cuadrado ponemos en raiz el otro lado de la ecuacion)
La raiz nos da dos opciones el numero positivo o el numero negativo, ambas deben ser elegidas.

Ahora si fuera de la siguiente forma :

√x + 1 = 0 (En vez de elevarnos al cuadrado nos dicen que es raiz)
√x = -1 (Pasamos el numero al lado, y para eliminar la raiz elevamos ambos lados al cuadrado)
x = 1 (Raiz al cuadrado se cancelan, y el -1 al cuadrado seria 1)

Mas ejemplos de ecuaciones:

1. 2 (3x +2) = 0 (Aca aplicamos ley distributiva x (a+b) = xa + xb
6x + 4 = 0 (El 6x + 4 es de (2*3x) + (2*2) )
6x = -4
x = -4/6 (Podemos simplificar o dejar asi el resultado)
x = -2/3 (le sacamos mitad a los dos numeros)

2. 3x + 5x + 6x^2 - 8x - (3x+5) = 10 (Huy te asustaras, esta es una ecuacion cuadratica)

Que es una ecuacion cuadratica?

Una ecuacion cuadratica es de la forma ax^2+bx+c = 0

Como se desarrolla una ecuacion cuadratica?

Hay dos formas:

1. encontrar un numero que multiplicado de c y sumado de b
2. Con la ecuacion cuadratica:

x = ( -b + - (-b^2 - 4ac)^1/2) / 2

en letras : ( x es igual a mas menos b raiz cuadrada de -b al cuadrado menos 4 a c todo sobre 2)

Recordemos que raiz es igual a la elevera el numero a la 1/2
Volvamos al ejercicio:

3x + 5x + 6x^2 - 8x - (3x+5) = 10 (Primero sumamos lo que podamos sumar)
8x + 6x^2 - 8x - (3x+5) =10
6x^2 - (3x+5) = 10 (Recordemos que un menos antes de parentesis cambia signos)
6x^2 - 3x - 5 =10 (Pasamos el 10 al otro lado)
6x^2 - 3x - 5 - 10 = 0
6x^2 - 3x - 15 = 0 (Para facilitar todo, todas las podemos dividir en 3)
x^2 - x - 3 = 0 (solo se puede reducir si todas son divisibles por ese numero y da exacto)

El resultado es aplicando la ecuacion:

x = (1+- (1 - 4(1)(-3))^1/2)/2
x = (1+- (1-(-12))^1-2)/2 Ojo!! - *- = +
x = (1+- (13)^1/2)/2 Queda raiz de 13.. ahi separamos las x

x1 = (1 + 3.6)/2= 2.3
x2= (1-3.6)/2 = -1.3

Donde 3.6 es raiz de 13 y (x1,x2) son los resultados a esa ecuacion.

Bueno creo que hasta aca podriamos dejar el tema de ecuaciones..cualquier duda ya saben a donde recurrir..estare para ayudarlos...

Primeras definiciones

Hola...Aqui comienza toda esta locura de saber la razon del porque amar a las matematicas...El primer calculo que ves, es el diferencial. Que parte de el grado undecimo del colegio y el primero de la Universidad

Numero Real: Es cualquier numero entero o irracional. Cuando hablo de irracional debemos pensar en decimales tanto periodicos y no periodicos finitos, e infinitos.

Recta Real: Recta sobre la cual se representa los numeros reales separados por intervalos. Un numero real corresponde a un punto de la recta.

Desigualdad: Relacion matematica en la que se tiene en cuenta el orden de los numeros.

Conjunto de numero reales: Existen varias clases de numeros reales

- Numeros Naturales: Numeros que nos sirven para contar (1,2,3,4,5....)
- Numeros Enteros: Son numeros exactos, que pueden ser negativos o positivos (....-3 -2,-1,1,2,3..)
- Numeros Racionales: Son fracciones m/n donde n no puede ser igual a 0.
- Numeros Irracionales: Son los decimales infinitos, no periodicos, ∏, cualquier raiz inexacta.

Restriccion de numeros reales:

1. No se puede dividir sobre 0
2. Para que exista una raiz debe ser positivo el numero.